Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 CABANA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

Anterior Siguiente
4.3. En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión. - a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
k) f(x)=e1/xf(x)=e^{1 / x}

Respuesta

1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es R−{0}\mathbb{R} -\{0\}

2)\textbf{2)} Calculamos f′′(x)f''(x)

f′(x)=−e1/x⋅1x2 f'(x) = -e^{1/x} \cdot \frac{1}{x^2}

Atenti para la derivada segunda, con cuidado y aplicando regla del producto! Vas a llegar a:

f′′(x)=e1/x⋅(2x3+1x4) f''(x) = e^{1/x} \cdot \left(\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}\right)

3)\textbf{3)} Buscamos los puntos de inflexión de f(x)f(x) igualando la derivada segunda (f′′(x))(f''(x)) a cero

e1/x⋅(2x3+1x4)=0 e^{1/x} \cdot \left(\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}\right) = 0

La función exponencial e1/x e^{1/x} es siempre positiva, así que los puntos de inflexión van a salir de plantear: 2x3+1x4=0 \frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4} = 0

2x3=−1x4\frac{2}{x^3} = -\frac{1}{x^4}

x=−12 x = -\frac{1}{2}

Entonces, hay un posible punto de inflexión en x=−12 x = -\frac{1}{2} .

4)\textbf{4)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′′(x)f''(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<−12x < -\frac{1}{2}
b) −12<x<0-\frac{1}{2} < x < 0
c) x>0x>0

5)\textbf{5)} Evaluamos el signo de f′′(x) f''(x) en cada uno de los intervalos:

En x<−12x < -\frac{1}{2}, f′′(x)f''(x) es negativa, por lo tanto ff es cóncava hacia abajo En −12<x<0-\frac{1}{2} < x < 0, f′′(x)f''(x) es positiva, por lo tanto ff es cóncava hacia arriba En x>0x > 0, f′′(x)f''(x) es positiva, por lo tanto ff es cóncava hacia arriba

Recapitulando,

- Hay un punto de inflexión en x=−12 x = -\frac{1}{2} - La función es cóncava hacia abajo en (0,−12) (0, -\frac{1}{2}) . - La función es cóncava hacia arriba en (−12,+∞) (-\frac{1}{2}, +\infty) .

Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.